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但是这一切与数学又有什么关系呢？它们是通过一种赞美沉思生活的道德观而被联系在一片的。伯奈特把这种道德观总结如下：
“我们在这个世界上都是异乡人，身体就是灵魂的坟墓，然而我们决不可以自杀以求逃避；因为我们是上帝的所有物，上帝是我们的牧人，没有他的命令我们就没权利逃避。在现世生活里有三种人，正象到奥林匹克运动会上来的也有三种人一样。那些来作买卖的人都属于最低的一等，比他们高一等的是那些来竞赛的人。然而，最高的一种乃是那些只是来观看的人们。因此，一切中最伟大的净化便是无所为而为的科学，唯有献身于这种事业的人，亦即真正的哲学家，才真能使自己摆脱'生之巨轮'。”①文字涵义的变化往往是非常有启发意义的。我在上文已经提到“狂欢”（orgy）那个字；现在我就要谈谈“理论”（theory）这个字。这个字原来是奥尔弗斯教派的一个字，康福德解释为“热情的动人的沉思”。他说，在这种状态之中“观察者与受苦难的上帝合而为一，在他的死亡中死去，又在他的新生中复活”；对于毕达哥拉斯，这种“热情的动人的沉思”乃是理智上的，而结果是得出数学的知识。这样，通过了毕达哥拉斯主义，“理论”就逐渐地获得了它的近代意义；然而对一切为毕达哥拉斯所鼓舞的人们来说，它一直保存着一种狂醉式的启示的成份。这一点，对于那些在学校里无可奈何地学过一些数学的人们来说，好象是很奇怪的；然而对于那些时时经验着由于数学上的豁然贯通而感到沉醉欢欣的人们来说，对于那些喜爱数学的人们来说，毕达哥拉斯的观点则似乎是十分自然的，纵令它是不真实的。仿佛经验的哲学家只是材料的奴隶，而纯粹的数学家，正象音乐家一样，才是他那秩序井然的美丽世界的自由创造者。
最有趣的是，我们从伯奈特叙述的毕达哥拉斯的伦理学里，可以看出与近代价值相反的观念。譬如在一场足球赛里，有近代头脑的人总认为足球员要比观众伟大得多。至于国家，情形也类似：他们对于政治家（政治家是比赛中的竞争者）的崇拜有甚于对于那些仅仅是旁观者的人们。这一价值的变化与社会制度的改变有关——战士、君子、财阀、独裁者，各有其自己的善与真的标准。君子在哲学理论方面曾经有过长期的当权时代，因为他是和希腊天才结合在一片的，因为沉思的德行获得了神学的保证，也因为无所为而为的真理这一理想庄严化了学院的生活。君子可以定义为平等人的社会中的一分子，他们靠奴隶劳动而过活，或者至少也是依靠那些毫无疑问地位卑贱的劳动人民而过活。应该注意到在这个定义里也包括着圣人与贤人，因为就这些圣贤的生活而论，他们也是耽于沉思的而不是积极活动的。
近代关于真理的定义，例如实用主义的和工具主义的关于真理的定义，就是实用的而不是沉思的，它是由于与贵族政权相反对的工业文明所激起的。
无论人们对于容许奴隶制存在的社会制度怀着怎样的想法，但正是从上面那种意义的君子那里，我们才有了纯粹的数学。沉思的理想既能引人创造出纯粹的数学，所以就是一种有益的活动的根源；这一点就增加了它的威望，并使它在神学方面、伦理学方面和哲学方面获得了一种在其他情况下所不能享有的成功。
关于毕达哥拉斯之作为一个宗教的先知与作为一个纯粹的数学家这两方面，我们已经解释得很多了。在这两方面，他都有着无可估计的影响，而且这两方面在当时也不象近代人所想象的那样是分离开来的。
大多数的科学从它们的一开始就是和某些错误的信仰形式联系在一片的，这就使它们具有一种虚幻的价值。天文学和占星学联系在一片，化学和炼丹术联系在一片。数学则结合了一种更精致的错误类型。数学的知识看来是可靠的、准确的，而且可以应用于真实的世界。此外，它还是由于纯粹的思维而获得的，并不需要观察。因此之故，人们就以为它提供了日常经验的知识所无能为力的理想。人们根据数学便设想思想是高于感官的，直觉是高于观察的。如果感官世界与数学不符，那么感官世界就更糟糕了。人们便以各种不同的方式寻求更能接近于数学家的理想的方法，而结果所得的种种启示就成了形而上学与知识论中许多错误的根源。这种哲学形式也是从毕达哥拉斯开始的。
正如大家所知道的，毕达哥拉斯说“万物都是数”。这一论断如以近代的方式加以解释的话，在逻辑上是全无意义的，然而毕达哥拉斯所指的却并不是完全没有意义的。他发现了数在音乐中的重要性，数学名词里的“调和中项”与“调和级数”就仍然保存着毕达哥拉斯为音乐和数学之间所建立的那种联系。他把数想象为象是表现在骰子上或者纸牌上的那类形状。我们至今仍然说数的平方与立方，这些名词就是从他那里来的。他还提到长方形数目、三角形数目、金字塔形数目等等。这些都是构成上述各种形状所必需的数目小块块（或者我们更自然一些应该说是些数目的小球球）。他把世界假想为原子的，把物体假想为是原子按各种不同形式排列起来而构成的分子所形成的。他希望以这种方式使算学成为物理学的以及美学的根本研究对象。
毕达哥拉斯的最伟大的发现，或者是他的及门弟子的最伟大的发现，就是关于直角三角形的命题；即直角两夹边的平方的和等于另一边的平方，即弦的平方。埃及人已经知道三角形的边长若为3，4，5的话，则必有一个直角。但是显然希腊人是最早观察到32＋42=52的，并且根据这一提示发现了这个一般命题的证明。
然而不幸，毕达哥拉斯的定理立刻引到了不可公约数（无理数）的发现，这似乎否定了他的全部哲学。在一个等边直角三角形里，弦的平方等于每一边平方的二倍。让我们假设每边长一时，那么弦应该有多么长呢？让我们假设它的长度是m/n时。那么m2/n2=2。如果m和n有一个公约数，我们可以把它消去，于是m和n必有一个是奇数。现在m2＝2n2，所以m是偶数，所以m也是偶数；因此n就是奇数。假设m＝2p。那末4p2=2n2，因此n2=2p2，而因此n便是偶数，与假设相反。所以就没有m/n的分数可以约尽弦。以上的证明，实质上就是欧几里德第十编中的证明①。
这种论证就证明了无论我们采取什么样的长度单位，总会有些长度对于那个单位不能具有确切的数目关系；也就是说，不能有两个整数m、n，从而使问题中的m倍的长度等于n倍的单位。这就使得希腊的数学家们坚信，几何学的成立必定是独立的而与算学无关。柏拉图对话录中有几节可以证明，在他那时候已经有人独立地处理几何学了；几何学完成于欧几里德。欧几里德在第二编中从几何上证明了许多我们会自然而然用代数来证明的东西，例如（a＋b）2=a2＋2ab＋b2。正是因为有不可公约数的困难，他才认为这种办法是必要的。他在第五编、第六编中论比例时，情形也是如此。整个体系在逻辑上是醒目的，并且已经预示着十九世纪数学家们的严谨了。只要关于不可公约数还没有恰当的算学理论存在时，则欧几里德的方法便是几何学中最好的可能方法。当笛卡儿介绍了坐标几何学（解析几何）从而再度确定了算学至高无上的地位时，他曾设想不可公约数的问题有解决的可能性，虽然在他那时候还不曾发现这种解法。
几何学对于哲学与科学方法的影响一直是深远的。希腊人所建立的几何学是从自明的、或者被认为是自明的公理出发，根据演绎的推理前进，而达到那些远不是自明的定理。公理和定理被认为对于实际空间是真确的，而实际空间又是经验中所有的东西。这样，首先注意到自明的东西然后再运用演绎法，就好像是可能发现实际世界中一切事物了。这种观点影响了柏拉图和康德以及他们两人之间的大部分的哲学家。“独立宣言”①说：“我们认为这些真理是自明的”，其本身便脱胎于欧几里德。十八世纪天赋人权的学说，就是一种在政治方面追求欧几里德式的公理②。牛顿的《原理》一书，尽管它的材料公认是经验的，但是它的形式却完全是被欧几里德所支配着的。严格的经院形式的神学，其体裁也出于同一个来源。个人的宗教得自天人感通，神学则得自数学；而这两者都可以在毕达哥拉斯的身上找到。
我相信，数学是我们信仰永恒的与严格的真理的主要根源，也是信仰有一个超感的可知的世界的主要根源。几何学讨论严格的圆，但是没有一个可感觉的对象是严格地圆形的；无论我们多么小心谨慎地使用我们的圆规，总会有某些不完备和不规则的。这就提示了一种观点，即一切严格的推理只能应用于与可感觉的对象相对立的理想对象；很自然地可以再进一步论证说，思想要比感官更高贵而思想的对象要比感官知觉的对象更真实。神秘主义关于时间与永恒的关系的学说，也是被纯粹数学所巩固起来的；因为数学的对象，例如数，如其是真实的话，必然是永恒的而不在时间之内。这种永恒的对象就可以被想象成为上帝的思想。因此，柏拉图的学说是：上帝是一位几何学家；而詹姆士·琴斯爵士也相信上帝嗜好算学。与启示的宗教相对立的理性主义的宗教，自从毕达哥拉斯之后，尤其是从柏拉图之后，一直是完全被数学和数学方法所支配着的。
数学与神学的结合开始于毕达哥拉斯，它代表了希腊的、中世纪的以及直迄康德为止的近代的宗教哲学的特征。毕达哥拉斯以前的奥尔弗斯教义类似于亚洲的神秘教。但是在柏拉图、圣奥古斯丁、托马斯·阿奎那、笛卡尔、斯宾诺莎和康德的身上都有着一种宗教与推理的密切交织，一种道德的追求与对于不具时间性的事物之逻辑的崇拜的密切交织；这是从毕达哥拉斯而来的，并使得欧洲的理智化了的神学与亚洲的更为直接了当的神秘主义区别开来。只是到了最近的时期，人们才可能明确地说出毕达哥拉斯错在哪里。我不知道还有什么别人对于思想界有过象他那么大的影响。我所以这样说，是因为所谓柏拉图主义的东西倘若加以分析，就可以发现在本质上不过是毕达哥拉斯主义罢了。有一个只能显示于理智而不能显示于感官的永恒世界，全部的这一观念都是从毕达哥拉斯那里得来的。如果不是他，基督徒便不会认为基督就是道；如果不是他，神学家就不会追求上帝存在与灵魂不朽的逻辑证。明。。但是在他的身上，这一切还都不显著。下面就要谈到这一切是怎样变得显著的。
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①西西里的希腊城市是受着迦太基人的威胁的，但是在意大利，人们并不感到这种威胁的切迫。
②亚里士多德说，毕达哥拉斯“最初从事数学和算学，后来一度不惜从事非里赛底斯所奉行的魔术。”
①“丑：毕达哥拉斯对于野鸟有什么意见？
马伏里奥：他说我们祖母的灵魂也许曾在鸟儿的身体里寄住过。
丑：你对他的意见觉得怎样？
马：我认为灵魂是高贵的，绝对不赞成他的说法。
丑：再见，你在黑暗里住下去吧，等到你赞成了毕达哥拉斯的说法之后，我才可以承认你的头脑健全”。（第十二夜）
（朱生豪译：《莎士比亚戏剧集》卷二，第218页，作家出版社，1954）
①引自伯奈特《早期希腊哲学》。
①康福德：前引书，第201页。
①《早期希腊哲学》，第108页。
①但是这并非欧几里德所发现的，见希斯：《希腊的数学》。以上的证明或许柏拉图是知道的。
①这里指的是美国的《独立宣言》——中译本编者
②佛兰克林用“自明的”代替了杰弗逊的“神圣的与不可否认的”。
西方哲学史
第四章 赫拉克利特
…
目前对待希腊人通常有两种相反的态度。一种是自文艺复兴以来直到最近时期事实上是普遍的态度，即带着几乎是迷信的崇拜来观察希腊人，把他们看成是一切最美好的事物的创造者，具有超人的天才，不是近代人所能期望与之匹敌的。另一种态度是被科学的胜利与对于进步的一种乐观主义的信仰所激发的，即把古人的权威认为是一种重担，并且认为现在最好是把希腊人对于思想的贡献大部分都忘掉。我自己不能采纳任何一种这样极端的看法；我应该说，这两种都是部分正确的而又部分错误的。在谈到任何细节以前，我先要试图说明我们从研究希腊的思想中仍然可以得到什么样的智慧。
关于世界的性质与构造，可能有各种各样的假说。形而上学的进展（就曾经存在过的而言）就在于所有这些假说的逐步精炼化，它们涵意的发展以及对于每种假说的重新改造，以其能对付那些相信敌对假说的人们所发动的反驳。学习着按照每一种体系来理解宇宙乃是想象力的一种愉悦，并且是教条主义的一付解毒剂。此外，纵使没有一种假说可以完全证实，但是如果发现在使每种假说都能自圆其说并且能符合已知事实时所能包含的东西，这里面也就有着一种真正的知识了。一切支配着近代哲学的各种假说，差不多最初都是希腊人想到的；我们对于希腊人在抽象事物方面的想象创造力，几乎是无法称赞过分的。关于希腊人我所要谈的主要地就是从这种观点出发；我认为他们创造了种种具有独立生命与发展的理论，这些理论虽然最初多少是幼稚的，然而两千多年以来终于证明是能够存在的而且能够发展的。
的确，希腊人贡献了另外一些东西，这些东西对于抽象思维证明了更具有永久的价值；他们发现了数学和演绎推理法。尤其是几何学乃是希腊人发明的，没有它，近代科学就会是不可能的。但是希