世界古代中期科技史- 第18部分

版；这种地图常有专人背负运送，表明春秋末年这种“版”已普遍使用。　

　　　　　可能是战国时期成书的《周礼》中，有很多关于地图使用的论述，　

所载地图的种类至少在七种以上，如有关于户籍的，有关于行政区划的，　

有关于山川林泽分布的，有关于矿产分布的，有关于道路交通的，等等。　

当时还设立了专门保管地图的官职“大司徒”。　

　　　　　　《管子·地图》篇突出说明了战国时期地图在军事上的主要作用，　

说：“凡兵主者，必先审知地图。轘辕之险，滥车之水，名山、通谷、　

经川、陵陆、丘阜之所在，苴草、林木、蒲苇之所茂，道里之远近，城　

郭之大小，名邑废邑、困殖之地，必尽知之。地形之出入相错者，尽藏　

之。然后可以行军袭邑，举措知先后，不失地利，此地图之常也”。这　

段精彩的论述，说明当时的地图对地形地物的表现已很完备。可以想到，　

这种地图必定是按照一定的比例缩尺并使用多种符号和说明方式绘制　

的。六、古代的数学成就　



　　　　　　　　　　　　　　　　　1。西亚、北非和南亚的古代数学知识　



　　　　　（1）巴比伦的数学成就　

　　　　　19世纪前期以来，考古学家在美索不达米亚所进行的系统的发掘工　

作，发现了大约50万块刻有古楔形文字的泥版，其制作年代有些是公元　

前2000年左右，而大部分是公元前600年到公元300年间的。其中约有　

300块已被鉴定为载有数字表和一批数学问题的纯数学泥版。这使我们大　

大丰富了关于古代巴比伦数学发展状况的了解。　

　　　　　巴比伦人很早就有了自然数和分数的记法，不过还不够完善；他们　

既使用十进位制，又使用六十进位制。苏美尔的数字是用芦管划在泥版　

上的刻痕来表示的。在十进制记数中，10以内的数用斜划的刻痕数目表　

示，十位数和十的倍数则用竖划的痕迹表示。在以六十为基数的记数法　

中，用细芦管来划个位数和十位数，再用粗芦管斜划来记六十的个数，　

竖划则代表六百的个数。大约到公元前2500年左右，十进位记数法已被　

废弃，并用楔形笔尖来代替芦管；用单独一个竖划表示60的幂次，即1、　

60、3600等，用两个竖划形成的一个箭头表示10、600、36000等。到公　

元前2000年左右，巴比伦设立了附属于寺庙的学校，在那里数学得到了　

进一步的发展，采用了苏美尔人表示整数的方法来记分数。尖笔写的竖　

划既表示1、60、3600等，也表示1/60、1/3600等；箭头记号既表示10、　

600等，也表示1/10、1/600等；其它的分数则分解为以60为基数的几　

个分数单位表达。　



　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图6。1古巴比伦的数字表示　

　　　　　由于整数和分数的记法混同，而且没有什么记号表示某一位上没有　


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数，即使到了塞琉西德时期　（始自公元前323年），虽然引入一种分开　

记号表示某位上没有数，也仍然不能辨明最右端还有没有数。所以他们　

写的数是意义不定的，常常要根据内容来揣猜它的确切数值。　

　　　　　巴比伦人大体上已经能够进行整数的四则运算了。由于从1到59这　

些数都是用若干个基本记号组合而成的，所以加减法只需加上或去掉这　

些记号就成了。整数乘法如乘以47，其法是先乘以40，再乘以7，然后　

二者相加。他们也进数整数除以整数的运算，由于除一个整数a就是乘　

以它的倒数1/a，这就涉及到分数的运算。巴比伦人把倒数化成60进制　

的小数，制定了倒数的数字表，供使用者查出1/a形式的数所写成的60　

进制的小数。而对于1/7、1/11、1/13等数值，其60进制的小数是无限　

循环的，则只给出近似值。　

　　　　　巴比伦还制定了表示平方、平方根、立方和立方根的数表。他们给　

　出的　2　的近似值是1。414243……，而不是1。414214……，　

看来他们还没有“无理数”的概念。总的看来，他们的许多算术程序都　

是借助于各种数表进行的。这种情况表明，古代巴比伦人具有高度的计　

算技巧，他们是数表的辛勤制作者。　

　　　　　大约在公元前2000年，巴比伦算术已推进到一种高度发展的用文字　

叙述的代数学。早期巴比伦代数的一个基本问题，是求出一个数，使它　

和它的倒数之和等于已给数。这是一个解二次方程的问题；其它还有给　

定两数之和与两数之积而求出这两数，也可化为上述问题。巴比伦人还　

会用变量转换法把复杂的代数问题化成较简单的问题。他们能用某些特　

殊方法解出含五个未知量的五个方程这类个别的问题，还会用配方法来　

解二次方程，并讨论了某些三次方程和双二次　（四次）方程。他们的代　

数方程是用语文叙述并以语文叙述其解法的。他们常用长、宽和面积这　

些字来表示未知量，虽然这些量并不一定就是这些几何量。　

　　　　　巴比伦人偶而也用记号表示未知量，不过他们解代数问题时只指出　

解题的步骤，而并不说明每步解法的理由。　

　　　　　在公元前300年左右的一块泥版上，记下了两个有趣的级数问题　

　　　　　　　　　　　　　　　　　9　9　　9　　　　　　　　　　10　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　？　　　　　　　　？　

　　　　　1＋2＋4＋…＋2=2＋（21）=21　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1　　　　　　　2　

　　　　　　2　　　　2　　　　2　　　　　　　2　

　　　　　1　　＋　2　　＋　3　＋　…10　　=　（1
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　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2　

直角。他们曾用A＝C/12（C为圆周长）这个法则计算圆面积，这实际　

上是用了π＝3；在近期发现的一块泥版上，在给出正六边形及其外　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1　

接圆周长之比时，其结果表明他们是用3　　　　　　　　　　作为π的近似值。　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8　

　　　　　古巴比伦的数学具有明显的实用性质，重在具体计算，而缺少抽象　

的数学问题。频繁的商业活动需要他们用算术和简单代数知识计算长　

度、重量、单利、复利、税额，国家和社会之间粮食的分配，划分土地　

和处理遗产引出的代数问题等。另外，制订历书，预测天象，挖运河，　

修堤坝，建谷仓和房屋等，都会引出大量的数字计算和几何问题。这使　

他们把算术推进到相当高的水平并出现了代数的开端。但总的说来，他　

们的算术、代数和几何学法则，都是根据物理事实摸索积累或直观得出　

的。而关于证明、解题的逻辑步骤和结构，以及各种问题求解的条件等，　

在巴比伦的数学里是找不到的。　



　　　　　（2）埃及的数学知识　

　　　　　古代埃及的数学没有达到巴比伦数学那样的水平，这很可能是由于　

巴比伦的经济发展速度较快，贸易更为活跃所致。　

　　　　　直到公元前332年亚历山大大帝征服埃及之前，埃及文明一直按照　

它自己的道路延续着。现存的埃及古代数学资料主要是产生于公元前　

1700年左右的两批纸草书。一批保存在莫斯科，被称为“莫斯科纸草书”；　

一批是　1858年英国人　HenryRhind发现的，保存在英国博物馆，称为　

　“Rhind纸草书”。前者包含有25个数学问题，后者包含有85个数学问　

题。这些问题大概是埃及人早在公元前三千年前已经知道的典型问题和　

典型解法的范例。从那时以后，埃及的数学知识和技巧很少有新的发展，　

甚至可能还有所退步。　

　　　　　埃及僧侣文的整数写法如图6。2所示。由于书写方式是自右而左的，　

所以｜｜｜nn表示23。　



　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图6。2埃及僧侣文的整数记号　

　　　　　埃及的算术主要用迭加法，加减法就是用添上或划掉一些记号而得　

出结果，乘除法也具有加法的特征。由于任何一个数都可以组成2的各　

次幂的和，所以乘法和除法通常可用连续加倍的运算来完成。比如求11　

乘13的积，其作法是：　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　11　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　22　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　44　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　88　

由于13＝1＋4＋8，所以只要把与1、4、8对应的倍数加起来即可，即　

11＋44＋88＝143。如果要将521除以23，则可连续地将23加倍并相加，　

直到超过543为止，步骤如　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　23　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　46　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　92　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　184　


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　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　16　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　368　

由于　

　　　　　521＝368＋153　

　　　　　　　　　　＝368＋92＋61　

　　　　　　　　　　＝368＋92＋46＋15　

所以其商为16＋4＋2＝22，余数为15。　

　　　　　埃及数系中也有分数的记法，但比较复杂，他们是在整数顶上记上　



计算时，把所有分数都拆成所谓“单位分数”（即分子为1的分数）再　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　2　　　　1　　　　1　　2　　　1　　　　1　

取和求出。例如　
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　　　　　（3）古印度的数学知识　

　　　　　古代印度的数学成就，没有达到古巴比伦和埃及的高度，不过在受　

到希腊数学的影响之前，也有他们自具特色的一些成就。　

　　　　　由于缺少可靠的记录，对公元前800年之前印度数学的发展，目前　

知之甚少，只是从一些早期城市遗迹和灌溉工程可知，古印度人早已有　

了书写、计算和度量衡体系，并且有了很基本的数学和工程知识。　

　　　　　公元前800年到公元前200年，是印度产生“绳法经”的年代。“绳　

法经”是一类宗教经文，包含有修筑祭坛的法则。在这些宗教作品以及　

一些钱币和铭文中，都包含着一些有关数学的内容。　

　　　　　在亚历山大大帝于公元前326年征服西北印度后，建立了莫尔雅帝　

国，并很快扩展到全印度。莫尔雅最著名的统治者阿索库（公元前272　

—前　232）在印度的每个重要城市立了大石柱，保存下了当时的数字符　

号。这些符号后来不断发生变化，最典型的是如图6。3所示的Brahmi式　

记号。这一组记号从1到9的每一个数都有一个特殊的符号，这是它的　

优越之处；缺陷是没有零，也没有进位记法。1　2　3　4　5　6　7　8　9　10　20　

30　40　50　60　



　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图6。3古印度的数字记号　

　　　　　在公元前5或4世纪出现的一部“绳法经”里，在讲到拉绳设计祭　

坛时，包含了一些古印度时期所知的几何法则。这些法则规定了祭坛的　

形状和尺寸所应满足的条件，最常用的是正方形、圆形和半圆形三种形　

状；但不管何种形状，祭坛的面积必须相等。他们掌握了怎样求等于两　

个正方形之和或差的一个正方形，或等于一个给定矩形的正方形；他们　

还能作出与正方形等面积的圆。或两倍于正方形面积的圆以便采用半圆　

形的祭坛。他们实际上用到了下述解圆方问题的法则：　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　S　

　　　　　d＝（2十　2　）　，　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　3　

　　　　　S＝13d/15。　

其中d为圆的直径，S为面积相等的正方形的边。他们实际上是取π＝　

3。09　。关于　2，“绳法经”给出了它的近似值：　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1　　　　　1　　　　　　　　　　1　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2　
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　　　　进数学，从而使数学由经验知识上升为理论知识，特别是初等几何，它　

　　　　　的演绎的理论形式被推崇为数学科学的典范，其影响一直持续到今。　



　　　　　　　　　　（1）泰勒斯的工作　

　　　　　　　　　　古希腊的第一位著名数学家是泰勒斯，他被认为是希腊几何学的始　

　　　　祖。泰勒斯的几何学知识最初是跟埃及人学的。在埃及，由于尼罗河水　

　　　　　常常泛滥，也就需要经常重新丈量土地，所以几何学的一些知识最早是　

　　　　埃及人发现的。据说，泰勒斯在埃及旅行时，曾巧妙地利用几何学知识　

　　　　解决了一个难题。当时，埃及祭司们想测量金字塔的高度，但又找不到　

　　　　测量的方法。泰勒斯则利用他学到的几何学知识解决了这一难题。他的　

　　　　具体方法历史上有两种不同的说法。一种说法是，泰勒斯在阳光以45°　

　　　　　的角度照射金字塔时，根据金字塔阴影的长度求得了结果：金字塔高就　

　　　　等于阴影的长度。这个传说似乎表明泰勒斯已具有等腰三角形的知识。　

　　　　还有一种说法是，泰勒斯用一根已知长度的杆子，通过同时测量杆影和　

　　　　金字塔影的长度，利用杆影长与塔影长的比等于杆高与塔高的比，算出　

　　　　塔高。这种说法则表明泰勒斯已懂得比例的道理。但是，也有人提出疑　

　　　　　问，金字塔的底非常大，影长是从影子的顶点到金字塔底的中心，这个　

　　　　　影长是难以直接量的。后人提出，可能的办法是作两次观测。第一次观　

　　　　测时记下杆影顶点在A处，塔影顶点在a处；第二次观测时记下杆影顶　

　　　　　点在B处，塔影顶点在b处。　　AB与ab的比就等于杆高和塔高的比